Instrukcije iz matematike i logike

Novo - instrukcije iz logike i matematike

Pozdrav svima, od današnjeg dana možete me kontaktirati na broj telefona 092/105-3952 ukoliko biste željeli proširiti svoje znanje logike. 

U ovom blogu sam se orijentirao isključivo na tradicionalnu logiku, a cijeli spektar moderne logike je ostao zanemaren - prevođenje na jezik iskazne logike te prevođenje na jezik predikatne logike, zatim provjera istinitosnih vrijednosti iskaza istinitosnom tablicom, metodom reductio ad absurdum, istinitosnim stablom te izgradnja deduktivnog sustava - ukratko, cjelokupno gradivo za srednju školu te fakultet. Nudim i mogućnost pripreme učenika za državnu maturu iz logike.

Zašto odabrati mene?

Trenutno radim u jednoj srednjoj školi, u kojoj predajem logiku te sam zbog toga detaljno upoznat s onime što učenik treba znati od gradiva.

Instrukcije iz matematike

Iako nisam matematičar po struci, matematika je prožeta logičkim zakonitostima, s kojima sam vrlo dobro upoznat. Uz to, imam i radno iskustvo i kao pomoćnik u nastavi pri čemu sam radio s djecom od 5. do 8. razreda osnovne škole, kojima sam dodatno pojašnjavao gradivo koje im nije bilo jasno. Zbog toga sam se upoznao i s nastavnim planom i programom matematike u osnovnoj školi.

Iz tog razloga instrukcije iz matematike nudim samo za djecu od 5. do 8. razreda. 

Gdje?

Najbolje kod Vas, ali moguće je i online, preko zoom-a ili skypea, iako je uvijek bolja opcija uživo. Živim u Zagrebu, tako da instrukcije uživo dajem samo na području Zagreba.

Kad?

Ovisno o mojem radnom vremenu - jedan tjedan radim ujutro, a jedan poslijepodne, možemo se naći i preko vikenda. Uvijek je dobro da me zovete barem nekoliko dana prije nego što Vam trebaju instrukcije, kako bih se mogao bolje organizirati i kako bismo se mogli što kvalitetnije dogovoriti oko gradiva koje trebate i vremena u kojem bismo se našli.

Cijena?

Usluge instrukcija iz logike i matematike nudim za 10€/h (75 kn/h), s time da je najbolje uzeti dva sata u komadu. Također, osim eura primam i kriptovalute.

 

 

 

Kategorički silogizam

Kategorički silogizam je oblik posrednog zaključka koji se sastoji od tri suda. 

SUD 1    -->  Prva premisa (viša, gornja )

SUD 2    -->  Druga premisa (niža, donja)

SUD 3    -->  Zaglavak (konkluzija)

Primjer:               

         M                 P

Svi smrtnici su živa bića.                M  P

         S             M

Svi ljudi su smrtnici.______            S  M           1. lik

         S               P

Svi ljudi su živa bića.                       S  P

M – Srednji pojam (Medius) – poveznik između dvije premise – križamo ga te on nestaje u konkluziji. Lako ga je prepoznati, jer ga imamo i u gornjoj i u donjoj premisi.

P, S – Krajnji pojmovi (Ekstremi) – U gornjoj se uvijek nalazi P,  a u donjoj S – oni nisu uvijek realno predikat i subjekt u PREMISAMA, kao kad smo učili o pojedinačnim sudovima (SaP, SeP, SiP, SoP) pa to može biti malo zbunjujuće. U gornjem primjeru se slučajno poklopilo da upravo P označuje predikat i S označuje subjekt u premisama. U konkluziji, s druge strane, S UVIJEK označuje subjekt i P UVIJEK označuje predikat. Promotrimo sljedeći primjer:

    

          P                   M

Sva ljudska bića su smrtna.                      P  M

                   S              M

Nijedan  kamen  nije smrtan._                   S  M           2. lik

                   S                P

Nijedan  kamen nije ljudsko biće.             S   P

Iako su u gornjoj premisi ljudska bića zapravo subjekt, a srednji pojam (smrtno) zapravo predikat, ljudska bića označavamo slovom P (kao predikat), jer će ona u konkluziji postati predikat. Označeni subjekt u drugoj premisi i realno jest subjekt u toj premisi.

Kod trećeg lika opet imamo zamjenu mjesta srednjeg pojma, tako da se oba „sele“ na lijevu stranu. Primjer:

         M             P

Svi trokuti su trostrani.                                      M  P

         M                         S

Svi trokuti imaju zbroj kuteva 180˚.                  M  S           3. lik

                            S                          P

Nešto što ima zbroj kuteva 180˚ je trostrano.    S   P

U trećem liku vidimo kako u gornjoj premisi P zaista označava predikat, dok u donjoj premisi srednji pojam nosi ulogu subjekta.

Zadnji lik (četvrti) ima potpuno zamijenjene uloge predikata i subjekta u premisama. Primjer:

            P                  M                    

Neki umjetnici su siromašni.                               P   M  

            M                 S

Svi  siromasi imaju imaju malo imovine.            M   S          4. lik

                     S                                 P

Neki koji imaju malo imovine su umjetnici.        S   P

Kao što se može vidjeti u gornjim primjerima, položaji srednjeg termina (M) određuju koji lik kategoričkog silogizma imamo.

Svaki lik ima i određene načine, a oni ovise o tome koje su kvantitete i kvalitete sudovi od kojih se sastoje (a, e, i, o) pa tako možemo imati različite tročlane kombinacije sudova.

Vrste zaključaka

Postoje dvije vrste zaključaka koji se spominju u udžbeniku, a to su: neposredni i posredni zaključak, koji se dalje dijeli na silogizam, induktivni zaključak i varavi zaključak.  Neki od njih imaju nekoliko podvrsta. Pogledajmo shemu:

1. NEPOSREDNI ZAKLJUČAK

Kao što mu i samo ime kaže, on se donosi iz jedne premise (suda) i to bez posrednika (drugog suda). On izgleda ovako:


SUD 1        ---->   PREMISA
SUD 2        ---->   ZAGLAVAK

Neposrednih zaključaka ima pet vrsta, od kojih neki imaju još podvrsta i to su kao što se može vidjeti iz sheme: istovrijedni, neposredni zaključci prema opreci, neposredni prema obratu, prema protupostavu i prema modalnosti.

2. SILOGIZAM

Silogizam za razliku od neporednog zaključka ipak ima još (barem) jednu dodatnu premisu (sud) prije zaglavka. To izgleda ovako:


SUD 1        ---->   PREMISA
SUD 2        ---->   PREMISA
SUD 3        ---->   ZAGLAVAK

Silogizama imamo tri vrste i to su kategorični, hipotetični i disjunktivni. Od svih vrsta zaključaka, silogizmi će nam biti najvažniji te ću o njima reći nešto više u sljedećim člancima.


3. INDUKTIVNI ZAKLJUČAK

Induktivni je zaključak takav da se za razliku od silogizma, zaključuje tako da u zaglavku izvodimo više nego što u stvari mora slijediti iz premisa. Zbog toga induktivni zaključak nije točan u tolikoj mjeri kao silogizam. Štoviše, induktivni zaključak može biti jačine od malo vjerojatan do vrlo vjerojatan, a gotovo nikad neće biti nužan (vjerojatnost 100%), kao silogizam. Najčešće izgleda ovako:

SUD 1, 2, 3, 4, n,...            ---->   PREMISA
SUD n+1, n+2, n+3...        ---->   PREMISA
SUD  n+n                           ---->   ZAGLAVAK

Induktivnih zaključaka imamo dvije vrste, a to su poopćavajući i analogijski.

4. VARAVI ZAKLJUČCI

Kao što im i samo ime kaže, oni samo izgledaju točno, ali nas u stvari zavaravaju i netočni su.

Zaključak

Polako, ali sigurno došli smo do zaključka. Što je to onda zaključak? Prema udžbeniku prof. Kovača, "zaključak je logički oblik pomoću kojega mislimo logički slijed jednog suda iz drugih, od njega različitih sudova". Što to zapravo znači? Prvo, ako pogledamo shemu iz jednog od prvih članaka:

Mogli bismo sudove nazvati putokazima koji nas dovode do nekih zaključaka. Naravno, sudovi nas mogu odvesti i do krivih zaključaka, kao što nas i putokazi mogu odvesti na krivo mjesto, ukoliko ih ne znamo čitati. Također, zaključci se sastoje od barem dva suda; onog (ili onih) iz kojeg/ih zaključujemo da je neki drugi sud istinit.

PREMISA I ZAGLAVAK

One sudove iz kojih zaključujemo zovemo premisama, dok onaj sud kojeg smo zaključili zovemo zaglavkom. Pogledajmo još jednu shemu zaključka:

O vrstama zaključaka bit će riječi u sljedećem članku.

Logički kvadrat

Što je logički kvadrat? Logički kvadrat je u stvari samo mentalna mapa koja nam olakšava pamćenje opreka među sudovima. Od sve četiri opreke, nama će u stvari najbitnije biti PROTUSLOVLJE (KONTRADIKCIJA), jer ćemo valjanost i zadovoljivost iskaza i zaključaka provjeravati upravo pomoću protuslovlja. Osim kontradikcije imamo još i SUPROTNOST, PODSUPROTNOST te PODREDNOST. Pogledajmo sliku:

 
Složeno u shemu kvadrata, on izgleda ovako:

U nastavku ću pobliže napisati nešto o svakoj opreci.

1. PROTUSLOVLJE

Što je to protuslovlje? Protuslovlje je odnos između dva suda i to takav odnos da nije moguće da oba budu istinita. Također, svaki od njih drugog niječe upravo onoliko koliko je dovoljno da taj ne bi vrijedio. U takvom odnosu su a - o te e - i sudovi.

Protuslovlje nekog suda dobiva se nijekanjem upravo tog suda. Primjerice, uzmemo li e-sud "Niti jedan trokut nema 360゜" i zaniječemo ga tako da kažemo "Nije tako da niti jedan trokut nema 360゜", tim smo nijekanjem u stvari dobili sud i, tj. "Neki trokut ima 360゜", jer su se dva nijeka, poput dva minusa poništila i dala potvrdni (nazovimo ga i pozitivni) sud. Isto vrijedi i za ostale, a, i , o sudove.

2. SUPROTNOST

Suprotni su samo a - e sudovi. Njihov odnos je takav da oba ne mogu biti istinita npr. "Svi ljudi su kralježnjaci" i "Niti jedan čovjek nije kralježnjak". Ako je ikoji istinit, onda to može biti samo jedan od tih sudova. U ovom slučaju prvi. Njihov odnos je također i takav da je moguće da su oba neistinita. Primjerice: "Niti jedan čovjek nije muškarac" i "Svi ljudi su muškarci". Očito je da niti jedan od njih nije istinit, jer imamo i ženskih, ali i muških ljudi. Važno je i napomenuti da jedan niječe drugog i više nego li je potrebno da onaj drugi bude nestinit.

3. PODSUPROTNOST

Podsuprotni sudovi se nalaze u takvom odnosu da oba mogu biti istinita, ali nikako ne mogu oba biti neistinita (obrnuto od suprotnosti). Npr. "Neki ljudi su žene" i "Neki ljudi nisu žene". Oba jesu istinita, jer neki ljudi jesu, a neki nisu žene, dok nije moguće da su oba neistinita, tj. da vrijede njihovi nijekovi "Svi ljudi su žene" i "Niti jedan čovjek nije žena". Svaki od njih niječe manje nego li je potrebno da onaj drugi bude neistinit.

4. PODREDNOST

Zašto podredni sudovi? Podredni su sudovi u takvom odnosu da imamo jedan nadređeni i jedan podređeni sud, pa otud i naziv. Oni su uvijek iste kvalitete, ali različite kvantitete. Tako imamo sudove a - i te e - o. Iz općih sudova prema podrednosti uvijek slijedi onaj posebni, dok iz posebnog ne slijedi nužno opći, ali je opći moguć, ako je poseban istinit. Ovdje niti jedan sud ne niječe onog drugog iz svojeg para. 

Razdioba sudova

U ovoj lekciji govorit će se o razdiobi sudova. Pokušat ću je objasniti na nešto drugačiji način nego profesor Kovač u udžbeniku za srednje škole. Pogledajmo prvo sliku koja bi trebala predstavljati mentalnu mapu sudova:

SUDOVI PREMA KOLIKOĆI 

 

Kolikoća nam u stvari govori koliko nečega ima. U ovom smislu nam ne govori točno brojčano stanje. Prema kolikoći, sudovi mogu biti opći ili posebni.

1. Opći sud

 

Opći sud nam govori nešto o svakom članu nekog skupa. Prepoznajemo ga po sljedećim riječima: SVI ili NIJEDAN.

2. Posebni sud

 

Posebni sud nam govori nešto o barem jednom članu nekog skupa. Prepoznajemo ga po riječi NEKI.

SUDOVI PREMA KAKVOĆI

 

Prema kakvoći, odnosno kvaliteti, sudovi mogu biti potvrdni ili niječni. 

1. Potvrdni sud 

 

Potvrdni sud prepoznajemo po riječi JE, JESU, SU. Potvrdni sud nam naravno, govori kakav neki predmet JEST.

2. Niječni sud 

 

Dakako, niječnim sudom opisujemo kakvo nešto NIJE. Prepoznajemo ga po riječi NIJE ili NISU

SUDOVI PREMA ODNOSU

Za srednju školu je u stvari važno da se dobro upoznamo sa sudovima prema odnosu. Sudovi prema odnosu mogu biti kategorični, hipotetični ili disjunktivni. Svi oni mogu biti opći ili posebni i potvrdni ili niječni. Jedino hipotetični sudovi nikako ne mogu biti posebni, kao što se vidi na slici gore.

1. Kategorični sud

 

Kategorični sudovi se još mogu zvati prirični, priročni ili predikatni. Zovemo ih tako, jer se sastoje od subjekta i njemu prirečenog predikata. Postoje četiri vrste kategoričih sudova, a dobivamo ih tako da kombiniramo kolikoću s kakvoćom. Tako možemo dobiti OPĆE POTVRDNI (UNIVERZALNO AFIRMATIVNI), OPĆE NIJEČNI (UNIVERZALNO NEGACIJSKI), POSEBNO POTVRDNI (PARTIKULARNO AFIRMATIVNI) te POSEBNO NIJEČNI (PARTIKULARNO NEGACIJSKI).

a) OPĆE POTVRDNI sud govori nam da svi predmeti nekog područja IMAJU neko svojstvo. Primjerice, sud "Svi ljudi su sisavci." govori nam kako je biti sisavac svojstvo svih ljudi. U tom slučaju "ljudi" su subjekt, a "sisavci" su predikat. Uopćeno, opće potvrdni ima oblik "Svi S(ubjekti) jesu P(redikat)". 

Opće potvrdni sud također nazivamo i a-sud, od latinske riječi Affirmo, što znači potvrditi. zbog toga ćemo to malo a ubaciti u uopćeni oblik, kako bismo dobili oblik S a P - a nam u stvari mijenja riječi "Svi jesu".

b) OPĆE NIJEČNI sud govori nam kako niti jedan predmet nekog područja NE SADRŽI određeno svojstvo. Tako na primjer sud "Niti jedan čovjek nije gušter", govori o tome kako biti gušter nije svojstvo niti jednog čovjeka (unatoč tome što se neki ne bi složili s tim sudom). "Čovjek" je ovdje subjekt, a "gušter" predikat koji mu se NE pririče. Uopćeno, opće niječni sud ima oblik "Niti jedan S(ubjekt) nije P(redikat)".

Njega nazivamo e-sud, od latinske riječi nEgo, što znači nijekati. Zato to malo e ubacujemo u uopćeni oblik kako bismo dobili  oblik S e P, gdje nam e mijenja riječi "Niti jedan nije".

c) POSEBNO POTVRDNI sud govori nam da neki predmeti određenog područja IMAJU neko svojstvo. Ne znamo je li to jedan, dva, tri ili koliko predmeta, ali znamo da je to u rasponu od barem jednog, do najviše jednog manje od svih predmeta. Primjerice, sud "Neki ljudi su crnokosi" govori o tome kako neki ljudi imaju svojstvo crne kose. "Ljudi" su subjekt, a "crnokosi" predikat. Uopćeno, "Neki S(ubjekti) jesu P(redikat)".

Taj sud se naziva i i-sudom, a ime je dobio od drugog samoglasnika u lat. riječi affIrmo. Stoga malo i ubacujemo umjesto "neki jesu", kako bismo dobili oblik S i P.

d) POSEBNO NIJEČNI sud govori nam koje svojstvo neki predmeti određenog područja NEMAJU. Kao i kod posebno potvrdnog suda, ne znamo točan broj, ali dovoljno je da jedan predmet nema to svojstvo. Primjerice, sud "Neki ljudi nisu crnokosi" govori nam kako neki ljudi ipak nemaju svojstvo crne kose. "Ljudi" su subjekt, a "crnokosi" predikat. Uopćeno, "Neki S(ubjekti) nisu P(redikat)".

Zovemo ga i e-sudom, a ime e dobio od drugog samoglasnika u lat. riječi negO. Stoga malo o ubacujemo umjesto "neki nisu", kako bismo dobili oblik 

S o P.

Sažmimo kategorične sudove u zamišljeni prostor. Primjerice, ako imamo 100 članova nekog skupa, 0 označava e-sud, 100 označava a-sud, dok 1-99 označava i i-sud i o-sud. Pogledajmo:

NITI JEDAN (e-sud) 0  |--1--(i-sud)--NEKI--(o-sud)--99--| 100 SVI (a-sud)

2. Hipotetični (pogodbeni) sud

Što je hipotetični sud? Hipotetični sud je takav sud, koji se sastoji od dva suda koji su povezani na takav način da drugi ovisi o prvome. Mogli bismo reći i da je drugi UVJETOVAN prvime, što znači da ako se prvi sud ostvari, onda se mora ostvariti i drugi. Primjerice: "Ako ovo jedete, nikada nećete smršavjeti." je sud u kojem jedenje neke određene hrane uvjetuje to da se neće smršaviti. Jedenje te hrane nazvat ćemo PREDNJAKOM (RAZLOG), a nećete smršavjeti nazvat ćemo POSLJETKOM (POSLJEDICA).

Uopćeno, hipotetični sud ima sljedeći oblik: "Ako P, onda Q." Riječi ako i onda u iskaznoj logici mijenjat ćemo strelicom pa će nam onda taj iskaz izgledati ovako: P --> Q. 

Za razliku od kategoričnih sudova, hipotetični sud ne može biti POSEBAN prema kolikoći, on uvijek mora biti OPĆI, zato što posljedak vrijedi UVIJEK kad je prednjak istinit.

Prema kakvoći, hipotetični sud može biti i potvrdan i niječni. Primjerice, uzmemo li potvrdni sud "Ako si čovjek, onda si sisavac.", onda vrijedi i niječni sud "Ako nisi sisavac, onda nisi niti čovjek.".

3. Disjunktivni isključni sud

Disjunktivni isključni sud je oblik suda u kojem imamo dva suda koja ni na koji način ne mogu biti istovremeno istiniti. Na primjer, ne mogu u isto vrijeme biti bolestan i zdrav. Mogu biti ili jedno ili drugo. Možemo na to gledati kao na dijelove neke cjeline, od kojih jedan mora biti istinit. Pogledajmo sliku:

Oba suda su dijelovi jedne cjeline i ti dijelovi se međusobno dopunjuju čineći zajedno cjelinu (živo biće) ali ujedno se i isključuju, jer ako je u jednom trenutku jedan istinit, ostali ne mogu biti istiniti.

Disjunktivni sud prepoznajemo po obliku: "Ili P ili Q".

Što se tiče kolikoće, disjunktivni isključni sud je istovremeno i opći, jer se odnosi na čitav opseg pojma i poseban, jer nam govori nešto osvakom posebnom dijelu te cjeline.

Kakvoćom je takav sud također i potvrdan i niječan, jer potvrđujući jedan njego dio automatski niječemo drugi i obrnuto, niječuči jedan, potvrđujemo drugi dio.

Sud

Nakon pojma na red za objašnjavanje nam dolaze sudovi. Prvo trebamo definirati što je to uopće sud? Sud je dakle, prema udžbeniku "logički oblik pomoću kojeg mislimo neko stanje stvari". Što to u stvari znači? Stanje stvari označavaju glagoli, no vidjet ćemo kako sudovi ne sadrže nužno glagole.

Sud dobijemo spajajući dva pojma i to tako da nam daju nekakvu informaciju o nekim predmetima. Primjerice sud: "Svi ljudi su sisavci." nam govori o svojstvima koja se odnose na neke predmete. Ovdje je pojam "sisavac" ona misao koju posredujemo uz pomoć posredujućeg pojma "ljudi". Ta dva pojma se spajaju u neki više ili manje precizno određeni objekt - predmet.

Pogledamo li pobliže sud "Svi ljudi su sisavci", uočit ćemo kako se on sastoji od subjekta "ljudi" i predikata "su sisavci". Zato sam ranije i napisao kako se unatoč tome što se sudovima misli neko stanje stvari, u njima ne nalaze nužno glagoli (iako se mogu i oni nalaziti), jer "su sisavci" u stvari imenski predikat.  

Za kraj, važno je napomenuti da se sud izražava jezičnim izrazom kojeg ćemo ubuduće zvati ISKAZOM.